Jorge MateV: 3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DELTA DIRAC

3.13 Transformada de Laplace Delta Dirac

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término. $\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella

u

denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID	Función	Dominio en el tiempo $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Dominio en la frecuencia $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Región de la convergencia para sistemas causales
1	retraso ideal	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	impulso unitario	$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{todo} \ s \,$
2	enésima potencia retrasada y con desplazamiento en la frecuencia	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2a	n-ésima potencia	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
2a.1	q-ésima potencia	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$s > 0 \,$
2a.2	escalón unitario	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2b	escalón unitario con retraso	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
2c	Rampa	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
2d	potencia n-ésima con cambio de frecuencia	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2d.1	amortiguación exponencial	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
3	convergencia exponencial	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
3b	exponencial doble	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$	$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$s > -a \ y \ s > -b\$
4	seno	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5	coseno	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5b	Seno con fase	$\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)$	$\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}$	$s > 0 \$
6	seno hiperbólico	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
7	coseno hiperbólico	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
8	onda senoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
9	onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	raíz n-ésima	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)$	$s > 0 \,$
11	logaritmo natural	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
12	Función de Bessel de primer tipo, de orden n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > \| \omega \| \,$
14	Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
15	Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	Función de error	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$

Jorge MateV

martes, 17 de mayo de 2011

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DELTA DIRAC

3.13 Transformada de Laplace Delta Dirac

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