Jorge MateV: mayo 2011

lunes, 30 de mayo de 2011

determinacion de la transformada inversa usando los teoremas de heaviside

En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.

Función de Heaviside

La función escalón unitario o función de Heaviside

R se define como:

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general H(t-a)=0 para t<a.

3.16 PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA

Propiedad de linealidad
Teorema. Si c1 & c2 son constantes arbitrarias y f1(s) & f2(s) son las transformadas de Laplace de F1(t) & F2(t) respectivamente, entonces:

jueves, 19 de mayo de 2011

3.15 ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS

Se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se expresa:
f(t)=L^-1 {F(S)}

L^-1 es una transformada lineal. Suponemos que la transformada inversa de Laplace es, en sí, una transformación lineal; esto es, si a y B son constantes,

La transformada inversa de Laplace de una función F(s) puede no ser única. Es posible que L{f2(t)}=L{f2(t)}y, sin embargo, f1!= f2.

3.14 TRANSFORMADA INVERSA

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuación diferencial la convertimos en una ecuación algebraica, la cual podemos resolver para Y(s), es decir, Y(s)=G(s). Ahora, como L{y(t)}=Y(s) si pudiéramos devolvernos obtendríamos la solución y(t) que buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa L^-1{Y(s)}, para hallar la función

Si F(s) es la transformada de Laplace de una función continua f(t), es decir, L{f(t)}=F(s), entonces la transformada inversa de Laplace de F(s), escrita L^1{F(s)} es f(t), es decir,L^1{F(s)}=f(t) y(t)

martes, 17 de mayo de 2011

3.13 TRANSFORMADA DE LAPLACE DELTA DIRAC

3.13 Transformada de Laplace Delta Dirac

La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal, la transformada de Laplace de una suma es la suma de la transformada de Laplace de cada término. $\mathcal{L}\left\{f(t) + g(t) \right\} = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\} + \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}$

$\mathcal{L}\left\{a f(t)\right\} = a \mathcal{L}\left\{ f(t)\right\}$

Aquí está una lista de las transformadas más comunes. En ella

u

denota a la llamada función de Heaviside o función escalón, que vale 1 cuando su argumento es positivo y 0 cuando su argumento es negativo. Cuando su argumento vale 0 se le suele asignar el valor 1/2, aunque esto no tiene relevancia práctica.

ID	Función	Dominio en el tiempo $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Dominio en la frecuencia $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Región de la convergencia para sistemas causales
1	retraso ideal	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	impulso unitario	$\delta(t) \$	$1 \$	$\mathrm{todo} \ s \,$
2	enésima potencia retrasada y con desplazamiento en la frecuencia	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2a	n-ésima potencia	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$s > 0 \,$
2a.1	q-ésima potencia	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$s > 0 \,$
2a.2	escalón unitario	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$s > 0 \,$
2b	escalón unitario con retraso	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$s > 0 \,$
2c	Rampa	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$s > 0 \,$
2d	potencia n-ésima con cambio de frecuencia	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$s > - \alpha \,$
2d.1	amortiguación exponencial	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$s > - \alpha \$
3	convergencia exponencial	$( 1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$s > 0\$
3b	exponencial doble	$\frac{1}{b-a}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)$	$\frac{1}{(s+a)(s+b)}$	$s > -a \ y \ s > -b\$
4	seno	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5	coseno	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$s > 0 \$
5b	Seno con fase	$\sin(\omega t+\varphi)\cdot u(t)$	$\frac{ s \sin(\varphi) + \omega\cos\varphi}{s^2+\omega^2}$	$s > 0 \$
6	seno hiperbólico	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
7	coseno hiperbólico	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$s > \| \alpha \| \$
8	onda senoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
9	onda cosenoidal con amortiguamiento exponencial	$e^{-\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2 }$	$s > -\alpha \$
10	raíz n-ésima	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{t}\right)$	$s > 0 \,$
11	logaritmo natural	$\ln \left ( { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$s > 0 \,$
12	Función de Bessel de primer tipo, de orden n	$J_n( \omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$s > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	Función de Bessel modificada de primer tipo, de orden n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$s > \| \omega \| \,$
14	Función de Bessel de segundo tipo, de orden 0	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$
15	Función de Bessel modificada de segundo tipo, de orden 0	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	Función de error	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$